Двовимірні многовиди

Двовимірні багатовиди мають деяку специфіку в порівнянні з багатовидами вищих розмірностей.

Одновимірність тензора Рімана

Оскільки в двовимірному випадку антисиметрична пара індексів $(ij)$ може тільки одну (з точністю до знаку) комбінацію $(12)=-(21)$, то тензор Рімана $R_{ijkl}$ з двома антисиметричними парами індексів має лише одну ненульову компоненту:

$(1)\qquad R_{1212}=-R_{2112}=R_{2121}=-R_{1221}$

легко перевірити, що алгебраїчна та диференціальна тотожності Біанкі не накладають на цю компненту ніяких обмежень. Дійсно, алгебраїчна тотожність з циклічною перестановкою перших трьох індексів:

$(2)\qquad R_{1212}+R_{2112}+R_{1112}=0$

задовольняється, оскільки другий протилежний першому (внаслідок антисиметрії $R_{ijkl}$ по першій парі індексів), а третій доданок дорівнює нулю. Те саме зауваження стосується і диференціальної тотожності Біанкі:

$(3)\qquad \nabla _{1}R_{12ps}+\nabla _{1}R_{21ps}+\nabla _{2}R_{11ps}=0$

В цій формулі друга пара індексів $(ps)$ теж дорівнює $(12)$, але ми таку підстановку навмисне не зробили, щоб підкреслити, що ця пара індексів не бере участі в циклічній перестановці.

Оскільки наведені вище міркування стосуються також тензора метричної матрьошки:

$(4)\qquad g_{ijkl}={\begin{vmatrix}g_{ik}&g_{il}\\g_{jk}&g_{jl}\end{vmatrix}}=g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk}$

То тензор Рімана будь-якого двовимірного багатовида виявляється пропорційним тензору метричної матрьошки:

$(5)\qquad R_{ijkl}=\lambda \,g_{ij,kl}$

Цікаво, що у вищих розмірностях формула (5) може бути справедливою лише для просторів постійної кривини. Дійсно, нехай буквою $n$ позначено розмірність багатовида. Тоді послідовними згортками із формули (5) знаходимо тензор Річчі і скалярну кривину:

$(6)\qquad R_{ik}=\lambda \,g^{jl}(g_{ik}g_{jl}-g_{il}g_{jk})=(n-1)\lambda \,g_{ik}$

$(7)\qquad R=g^{ij}R_{ij}=n(n-1)\lambda$

Ці два вирази ми можемо підставити в згорнуту диференціальну тотжність Біанкі:

$(8)\qquad 2\nabla ^{j}R_{ij}=\nabla _{i}R$

$(8a)\qquad 2(n-1)\nabla _{i}\lambda =n(n-1)\nabla _{i}\lambda$

$(8b)\qquad (n-2)(n-1)\nabla _{i}\lambda =0$

При $n>2$ перші два множника в формулі (8b) ненульові, а тому:

$(9)\qquad \nabla _{i}\lambda ={\partial \lambda \over \partial u^{i}}=0;\qquad \lambda ={\mbox{const}}$

тобто коефіцієнт $\lambda$ однаковий для всього багатовида з розмірністю більшою двох.

Для двовимірних багатовидів ($n=2$) формула (8b) перетворюється на тотожний нуль, тому коефіцієнт $\lambda$ може змінюватися. Із формули (7) знаходимо, що $\lambda$ дорівнює Ґаусовій кривині другого степеня:

$(10)\qquad \lambda ={R \over n(n-1)}={R \over 2}=K^{[2]}=K$

Маємо такі формули для двовимірного багатовида:

$(11)\qquad R_{ijkl}=K\,g_{ij,kl}$

$(12)\qquad R_{ij}=K\,g_{ij}$

$(13)\qquad R=2K$

Ізотермічні координати

В вудь-якому двовимірному багатовиді можна вибрати (локально звичайно з огляду на топологію, в околі будь-якої точки) таку систему координат, що метричний тензор $g_{ij}$ буде пропорційним одиничній матриці:

$(14)\qquad g_{ij}=a\delta _{ij}={\begin{bmatrix}a&0\\0&a\end{bmatrix}}$

Такі координати називаються ізотермічними. Квадрат елемента відстані дорівнює:

$(15)\qquad ds^{2}=a((u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}))$

Теорема Ґауса — Бонне

Для будь-якого гладкого замкнутого контуру $L$ на двовимірному багатовиді і обмеженої цим контуром області $\Omega$ справедлива наступна формула:

$(16)\qquad \oint _{L}k_{g}dl+\int _{\Omega }Kds=2\pi \chi (\Omega )$

де перший інтеграл береться від геодезичної кривини контуру $L$, другий інтеграл береться від Ґаусової кривини, а $\chi =\chi (\Omega )$ є цілим числом - характеристикою Ейлера для області $\Omega$. Докладніше ця теорема описана в статті Теорема Ґауса-Бонне.